柯西定理（柯西积分定理）和柯西公式（柯西积分公式）是复变函数论中的两个核心定理，它们揭示了全纯函数（解析函数）的深刻性质，并为复积分计算提供了重要工具。

一、柯西积分定理

核心内容

若函数 (f(z)) 在复平面的单连通开区域 (Omega) 内全纯（解析），且 (gamma) 是 (Omega) 内任意分段光滑的简单闭曲线（不自交且可求长），则沿 (gamma) 的路径积分为零：

[

oint_gamma f(z) dz = 0.

]

等价表述：若两点间有两条路径 (gamma_1) 和 (gamma_2) 围成的区域完全包含于 (Omega) 且 (f(z)) 在该区域内解析，则路径积分相等：

[

int_gamma_1} f(z) dz = int_gamma_2} f(z) dz.

]

关键条件

eq 0)，因其在 (z=0) 处不解析。

意义

二、柯西积分公式

核心内容

若 (f(z)) 在简单闭曲线 (C) 及其内部区域 (D) 上解析，在边界 (C) 上连续，则对 (D) 内任意点 (a)，函数值由边界积分完全确定：

[

f(a) = frac1}2pi i} oint_C fracf(z)}z-a} dz.

]

高阶导数推广：(f(z)) 在 (a) 点的 (n) 阶导数可通过积分计算：

[

f^(n)}(a) = fracn!}2pi i} oint_C fracf(z)}(z-a)^n+1}} dz.

]

应用示例

计算函数 ( g(z) = fracz^2}z^2 + 2z + 2} ) 沿圆周 ( |z|=2 ) 的积分：

[

oint_C g(z) dz = 2pi i left( fracz^2}z

]

意义

三、两者的联系

1. 柯西定理是柯西公式的基础：柯西公式的证明依赖闭曲线积分变形（如构造小圆）及柯西定理的推广形式（含奇点的复合闭路定理）。

2. 统一框架：

两者共同构成复积分学说的基础，广泛应用于求解实积分、级数展开及物理难题（如流体力学）。