下面内容是四点共圆的常见证明技巧及详细说明，结合几何定理和判定策略，帮助领会其内在逻辑：

一、判定定理法

• 共底等角法

  • 技巧：将被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形（两三角形位于底边同侧），若顶角相等，则四点共圆。
  • 依据：圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）的逆定理。
  • 示例：若线段AB同侧有两点C、D，且∠ACB=∠ADB，则A、B、C、D四点共圆。

• 四边形对角互补法

  • 技巧：若四边形的对角之和为180°，或其一个外角等于内对角，则四点共圆。
  • 依据：圆内接四边形的性质逆定理。
  • 示例：四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°或∠ADE=∠CBE（外角等于内对角），则四点共圆。

二、反证法

• 步骤：假设第四点不在圆上，推导矛盾。
  • 示例：过A、B、D三点作圆O，若点C不在圆上，则会出现角的大致矛盾（如外角定理冲突），故C必在圆上。
  • 关键：利用圆内接四边形性质与三角形外角定理的矛盾关系。

三、托勒密定理法

• 定理：若四边形ABCD满足 \( AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD \)，则四点共圆。
• 逆定理应用：通过计算边长关系验证是否满足等式，成立则共圆。
• 适用场景：涉及边长乘积关系的几何难题，如凸四边形的共圆判定。

四、相交弦与割线定理法

• 相交弦定理逆定理
  • 条件：若两线段AB、CD交于E，且 \( EA \cdot EB = EC \cdot ED \)，则四点共圆。
• 割线定理逆定理
  • 条件：若点P引出两线段PA、PC，满足 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)，则A、B、C、D共圆。

五、等角共圆定理法

• 定理：若线段AB同侧两点C、D对AB的视角相等（即∠ACB=∠ADB），则四点共圆。
• 证明技巧：
  • 反证法：假设点D不在圆上，通过构造圆外或圆内点推导角度矛盾。
  • 三角函数法：计算两三角形外接圆半径相等，证明圆重合。

六、距离相等法

• 技巧：若四点到某定点距离相等，则四点共圆。
  • 示例：直角三角形的四个顶点共圆（斜边中点到各顶点距离相等）。

拓展资料与选择策略

• 优先判定定理：若题目涉及角度关系，优先用共底等角或对角互补法。
• 涉及边长乘积：考虑托勒密定理或相交弦定理逆定理。
• 存在反证条件（如矛盾角或距离冲突）：使用反证法简化证明。

通过灵活组合上述技巧，可高效解决四点共圆难题。具体难题需结合图形特征选择最简路径。