泰勒展开式常用公式高中高中数学中的泰勒展开式入门与解析泰勒展开式适用范围

泰勒展开式（Taylor expansion）是微积分中的重要工具，在高中数学中虽不直接考查推导经过，但其重点拎出来说和想法常出现在函数逼近、不等式证明、导数压轴题中。下面内容从高中数学角度解析其核心概念和应用：

一、泰勒展开式的基本概念

泰勒展开是用多项式逼近复杂函数的技巧，在点 (x = a) 附近展开的函数表达式为：

[

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + fracf”(a)}2!}(x-a)^2 + cdots + fracf^(n)}(a)}n!}(x-a)^n + R_n(x)

]

关键点：

麦克劳林展开：当 (a = 0) 时，简化形式为 (f(x) = f(0) + f'(0)x + fracf”(0)}2!}x^2 + cdots)（如 (e^x, sin x) 的展开）。

余项 (R_n(x))：表示近似误差，高中阶段通常忽略高阶余项，取前几项作近似计算。

适用条件：函数在展开点附近需足够光滑（存在高阶导数）。

二、高中常见函数的泰勒展开式（麦克劳林形式）

下面内容展开式在高考题中常用于函数逼近或不等式证明：

1. 指数函数 (e^x)：

[

e^x = 1 + x + fracx^2}2!} + fracx^3}3!} + cdots quad (x in mathbbR})

]

衍生不等式：(e^x geq 1 + x)，(e^x geq 1 + x + fracx^2}2})（常用于放缩）。

2. 正弦函数 (sin x)：

[

sin x = x

fracx^3}3!} + fracx^5}5!}

cdots quad (ext仅奇数次项})

]

近似应用：当 (x approx 0) 时，(sin x approx x)（如求极限或小角度近似）。

3. 对数函数 (ln(1+x))：

[

ln(1+x) = x

fracx^2}2} + fracx^3}3}

fracx^4}4} + cdots quad (|x| < 1)

]

衍生不等式：(fracx}1+x} leq ln(1+x) leq x)（(x geq 0)）。

三、泰勒展开在高中数学中的应用场景

1. 函数值近似计算

例题：比较 (a = 0.1e^0.1}), (b = frac1}9}), (c = -ln(0.9)) 的大致。

解法：

(e^0.1} approx 1 + 0.1 + frac0.01}2} = 1.105 Rightarrow a approx 0.1105)

(b = frac1}9} approx 0.1111)

(ln(0.9) = ln(1-0.1) approx -0.1

frac0.01}2} = -0.105 Rightarrow c approx 0.105)

结局：(c < a 0) 使得当 (x in (0, x_0)) 时 (f(x) > g(x))（(k < 1)）。

关键步骤：

利用 (ln(1+x) geq fracx}1+x})（泰勒展开的简化形式），结合放缩得：

[

ln(1+x)

kx geq fracx}1+x}

kx = x left( frac1}1+x} – k right)

]

当 (k < 1) 且 (x) 足够小时，上式恒正。

3. 复杂函数的简化分析

例如在分析 (f(x) = e^x ln x + fracbe^x-1}}x}) 的极值或不等式时，可将 (e^x) 或 (ln x) 用泰勒展开近似，转化为多项式函数讨论。

四、高中阶段使用泰勒展开的注意事项

1. 余项控制：高中难题通常只需取前 2–3 项，且 (x) 需接近展开点（如 (|x| < 1)），否则误差增大。

2. 命题背景识别：若题目出现 (e^x, sin x, ln(1+x)) 等函数，且涉及不等式或近似计算，可考虑泰勒展开。

3. 替代技巧：对于严格证明题，泰勒展开是工具其中一个，但需结合导数、单调性等传统技巧综合使用。

五、进修建议

1. 掌握核心展开式：熟记 (e^x), (sin x), (ln(1+x)) 的 2–3 阶展开式及衍生不等式。

2. 练习高考真题：重点研究全国卷、福建卷的导数压轴题（如 2014 全国 I 卷理 21、2015 福建卷理 20）。

3. 拓展资源：

视频：[泰勒展开在高考导数的应用]（2024 新高考 1 卷第 18 题解析）

文档：[泰勒公式高中版]（知乎专栏）

泰勒展开为高中函数难题提供了高阶视角，但需注意其本质是局部近似工具，领会其原理可提升对函数形态的直观认知，在压轴题中化繁为简。

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