求两平面夹角的技巧主要有下面内容几种，分别适用于不同的几何条件和已知信息：
一、法向量法（解析几何常用）
- 确定两平面的法向量
若平面方程为 \( Ax + By + Cz + D = 0 \)，其法向量为 \( \mathbfn} = (A, B, C) \) 。 - 计算法向量夹角
利用向量点积公式：
\[\cos\theta = \frac|\mathbfn}_1 \cdot \mathbfn}_2|}|\mathbfn}_1| \cdot |\mathbfn}_2|} = \frac|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}\sqrtA_1+B_1+C_1} \cdot \sqrtA_2+B_2+C_2}}\]
其中 \( \theta \) 为两平面夹角（取锐角或直角）。
适用场景：已知平面方程或法向量，计算简便且通用。
二、三垂线定理法（立体几何作图）
- 构造垂线
在平面α内找一点A，作平面β的垂线AB，垂足为B； - 作交线垂线
过B作两平面交线l的垂线BP，连接AP； - 确定平面角
则∠APB为二面角的平面角，通过解三角形（如余弦定理）计算其大致。
适用场景：需在几何图形中构造辅助线，适合直观解题。
三、定义法与垂面法
- 定义法
直接在二面角的棱上取一点，分别在两平面内作垂直于棱的射线，形成的角即为平面角。 - 垂面法
作一个与两平面交线垂直的辅助平面（垂面），垂面与两平面的交线所成角即为二面角的平面角。
适用场景：适用于几何证明题，需严格遵循定义步骤。
四、射影定理法
- 计算射影面积
若已知平面α内的图形面积S，其在平面β上的射影面积为S’，则：
\[\cos\theta = \fracS’}S}\]
其中θ为两平面夹角。
适用场景：已知平面内图形的面积及其射影面积。
五、向量法（空间坐标系）
- 建立坐标系
确定两平面内点的坐标； - 求路线向量
若两平面交线为l，取l上的两个点，计算指向两平面的向量； - 向量内积计算
使用向量内积公式求夹角。
六、转化法
- 转化为异面直线夹角
若两平面交线为AB，过AB作异面直线AC和BD（分别垂直于AB），利用异面直线距离公式计算夹角。
注意事项
- 角度范围：两平面夹角的范围是 \( 0 \leq \theta \leq \frac\pi}2} \)，若法向量点积为负，需取补角。
- 路线验证：若两法向量同时指向平面同侧或异侧，夹角可能需调整为 \( \pi – \theta \) 。
- 几何验证：复杂难题可结合多种技巧验证结局，例如通过三角形面积或坐标系验证。
示例：
若两平面方程为 \( x – y + 2z = 6 \) 和 \( 2x + y + z = 5 \)，其法向量分别为 \( \mathbfn}_1 = (1, -1, 2) \) 和 \( \mathbfn}_2 = (2, 1, 1) \)，则：
\[\cos\theta = \frac|1×2 + (-1)×1 + 2×1|}\sqrt1 + (-1) + 2} \cdot \sqrt2 + 1 + 1}} = \frac3}\sqrt6} \cdot \sqrt6}} = \frac1}2}\]
故夹角为 \( \frac\pi}3} \) 。
